1.0.33   Continue intrest

In aansluiting op de vorige twee paragrafen waarin we achtereenvolgens renteconversie (910.31) en het omzetten naar gelijkwaardige procenten (910.32) bespraken, bekijken we onder 910.33 de continue intrest, ook wel aangeduid als continu samengestelde intrest.

In sommige landen, zoals de VS, bestaan wettelijke regelingen die bepalen dat er een grens bestaat voor het (nominale) intrestpercentage dat banken jaarlijks mogen vergoeden. Vreemd genoeg staat in deze regelingen vaak niet omschreven hoe vaak per jaar de banken rente mogen bijschrijven. Op grond hiervan is het mogelijk dat banken in de VS jaarlijks een effectief intrestpercentage kunnen hanteren dat hoger is dan dit wettelijk toegestane maximum.

Voorbeeld

Indien het wettelijk toegestane maximum 10% op jaarbasis bedraagt, dan is het toegestaan om 5% op halfjaarbasis te vergoeden.

De groeifactor per half jaar is dan gelijk aan 1,05 en de groeifactor per jaar bedraagt 1,05² ofwel 1,1025. De effectieve intrest blijkt dan 10,25 per jaar te zijn, en er wordt toch niet in strijd met de wet gehandeld. 

Als men het aantal uitkeringsmomenten gaat opvoeren zal het percentage effectieve intrest toenemen. Gaat men bijvoorbeeld over tot 12 uitkeringen per jaar, dan wordt de groeifactor (1 + 0,10/12)¹² ofwel 1,00833333¹² ofwel 10,471307%.

Gaan we nog een stap verder en voeren we het aantal bijschrijfmomenten op tot 52, dan wordt de groeifactor (1 + 0,10/52)⁵² ofwel 1,001923⁵² ofwel 10,506479%.

Leidt deze weg nou tot onbeperkte groei of mogelijkheden ten aanzien van de uit te keren rente?

Ofwel, in meer algemene termen, hoe hoog wordt de intrest in dit voorbeeld indien:

(1 + 0,10/m)^m voor m → oneindig.

Zonder hier wiskundig verder op in te gaan blijken de volgende verbanden te bestaan tussen de discrete intrestvoet i (lees: de jaarlijks-maximale-nominale intrestvoet) en de continue intrestvoet ie:

i = e^ie - 1

en

ie = In(1+i)

Daarbij is e het grondtal van de natuurlijke logaritme (In). Dit getal heeft een vaste waarde en is – bij benadering – 2,7182 groot.

Indien we deze vergelijking invullen voor de in het voorbeeld gehanteerde 10% krijgen we het 'maximaal' te behalen continue percentage:

e^0,10 - 1 = 0,105170918

Met behulp van de menuoptie Tabel (te bereiken via het menu Data – Tabel) kunnen we bekijken hoe de continue intrest zich ontwikkelt met het aantal jaarlijkse bijschrijfmomenten.

Dit doen we met behulp van een dubbele invoertabel, waarbij we de ontwikkeling voor diverse percentages kunnen bekijken.

Om deze invoertabel op te zetten gaan we als volgt te werk: 

 910.33 Excel-tabel 1

In het bereik A1:C5 zetten we het gevonden verband tussen de discrete en de continue intrest om in een formule in cel C5:

C5 = (1+C3/C2)^C2-1

In de sheet (sheet 1 van 910_33.xls) hebben we als voorbeeld 12 bijschrijvingen en 10% als discreet percentage genomen. Dit leidt tot het al bekende continue percentage van 10,471307%.

Om de samenhang tussen de continue rentevoet en het aantal bijschrijfmomenten te krijgen hebben we het matrixbereik C5:M15 opgezet. In rij 5 (D5:M5) hebben we verschillende discrete percentages uitgezet (van 1 tot 10%), in kolom C (C6:C15) een toenemende frequentie van het aantal jaarlijkse bijschrijvingen (tot uiteindelijk bijschrijvingen per uur in C15: 365 ✕ 24).

De formulecel C5 bevindt zich precies in de linkerbovenhoek van het nog te vullen matrixbereik (C5:M15).

Om het bereik gevuld te krijgen gaan we als volg te werk:

We selecteren het volledige bereik C5:M15.

We kiezen in het menu Data voor de optie Tabel en krijgen nu het volgende invoerscherm te zien dat we als volgt invullen:

In het veld Rij-invoercel nemen we het rentepercentage op.

In het veld Kolominvoercel nemen we het aantal bijschrijvingen op.

Tot slot klikken we op OK en krijgen we de volledig ingevulde matrix (sheet 2) met alle gewenste combinaties.

910.33 Excel-tabel 2

Rechtsonder in cel M15 zien we het continue percentage van 10,517% weer opduiken bij de ons al bekende combinatie van 10% en een 'oneindig' aantal bijschrijvingen (met in dit geval 8.760 'uurlijkse' bijschrijvingen als benadering voor 'oneindig').